測度論

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有限加法族

与えられた空間Xの部分集合族\mathfrak{F}が以下の条件を満たすとき、これを有限加法族とよぶ。
  1. \phi \in \mathfrak{F}
  2. A \in \mathfrak{F}ならばA^c \in \mathfrak{F}
  3. A,B \in \mathfrak{F}ならばA \cup B \in \mathfrak{F}

Jordan測度

空間Xとその有限加法族\mathfrak{F}に対して\mathfrak{F}-集合函数m(A)が以下の条件を満たすとき、mを\mathfrak{F}の上のJordan測度(有限加法的測度)という。
  1. \forall A \in \mathfrak{F}に対して0 \leq m(A) \leq \infty、特にm(\phi)=0
  2. A,B \in \mathfrak{F}, A \cap B = \phiならばm(A+B)=m(A)+m(B)

諸定義

有限加法性
どの2つも互いに交わらない集合列A_i(i=1,\cdots n) \in \mathfrak{F}に対して、
m(\sum_{j=1}^n A_j) = \sum_{n=1}^n m(A_j)

完全加法性
どの2つも互いに交わらない集合列A_i(i=1,\cdots) \in \mathfrak{F}に対して、A = \sum A_n \in \mathfrak{F}が成り立つならば
m(A) = \sum_{j=1}^\infty m(A_n)

Carathéodory外測度

空間Xのすべての部分集合Aに対して定義された集合函数\Gamma(A)があって以下の条件を満たすときこれをCarathéodry外測度という。
  1. 0 \leq \Gamma(A) \leq \infty, \quad \Gamma(\phi)=0 (非負性)
  2. A \subset Bならば\Gamma(A) \leq \Gamma(B) (単調性)
  3. (劣加法性)
\Gamma\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n \right) \leq \sum_{n=1}^\infty \Gamma(A_n)

諸定義

Carathéodoryの意味で可測(\Gamma-可測)
空間Xに外測度\Gammaが定義されているとする。E \subset Xが以下の条件を満たす。
\forall A \subset X, \Gamma(A) = \Gamma(A \cap E) + \Gamma(A \cap E^c)

零集合
\Gamma(E)=0なる集合

加法族

空間Xの部分集合族\mathfrak{B}があって以下の条件を満たすときこれを加法族(完全加法族、\sigma加法族)とよぶ。
  1. \phi \in \mathfrak{B}
  2. E \in \mathfrak{B}ならばE^c \in \mathfrak{B}
  3. E_n \in \mathfrak{B} (n=1,2,\cdots)ならば
\bigcup_{n=1}^\infty E_n \in \mathfrak{B}

測度

空間Xとその部分集合の\sigma-加法族\mathfrak{B}があって、\mathfrak{B}-集合函数\mu(A)が以下を満たすとき、これを測度とよぶ。
  1. 0 \leq \mu(A) \leq \infty, \mu(\phi)=0 (非負性)
  2. A_n \in \mathfrak{B} (n=1,2,\cdots), A_j \cap A_k = \phi (j \neq k)ならば (完全加法性、可算加法性)
\mu\left(\sum_{n=1}^\infty A_n \right) = \sum_{n=1}^\infty \mu(A_n)


Lebesgur外測度
R^Nにおいてf_\nu(\lambda)=\lambda (\nu=1,\cdots,N)として構成された外測度
Lebesgue可測集合
\GammaR^NにおけるLesbesgue外測度\mu^*であるときの\mathfrak{M}_\mu^*に属する集合
Lebesgue測度
\mu^*\mathfrak{M}_\mu^*上で考えた測度



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