複素解析


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諸定義

領域
連結な開集合
単連結
領域D内のある1点を始点とする任意の閉曲線が1点にホモトープであるとき、Dは単連結である
1点にホモトープ
領域内の閉曲線Cが定曲線にホモトープであるとき、Cは1点にホモトープである


ホモトープ

平面内の領域Dに対し、D上で定義された2つの連続曲線をz=z(t_j) (0 \leq t \leq 1, j=1,2)とする。\varphi(t,u): [0,1] \times [0,1] \to Dなる連続写像であって、
  • \varphi(t,0) = z_1(t), \varphi(t,1) = z_2(t) \quad (0 \leq t \leq 1)
  • \varphi(0,u) = z_1(0) = z_2(0), \varphi(1,u) = z_1(1) = z_2(1) \quad (0 \leq u \leq 1)
を満たすものが存在するとき、この2つの曲線はDでホモトープであるという。

Jordanの定理

C内のジョルダン閉曲線は、Cを2つの領域に分ける。一方は有界な単連結領域である。

Cauchyの積分定理

fを単連結領域D上の正則函数とするとき、1点にホモトープな閉曲線Cに対し
\int_C f(z)dz = 0

(証明)
証明は閉三角形による特別な場合で示し、その後一般の領域に拡張するものが多い。

Cauchyの積分表示

領域D内の点aと0<r<d(a;\partial D)に対して、fがD上正則函数ならば
f(z) = \frac{1}{2\pi i}\int_{C(a;r)}\frac{f(\zeta)}{\zeta - z} d\zeta \quad (z \in \Delta(a;r))

(証明)
C_1 = Re^{i\thata_1}, C_3 = z + \delta e^{i\thata_2}, C_2を(1→2を正として)これらを結ぶ曲線としてみよ。fはD上正則函数であるからC=C_3 + C_2 + C_1 - C_2によるfの積分は0になる。ここからC_1 = C_3C_3のzの回りの積分から求める式を得る。

回転数

点aとaを通らない閉曲線Cに対し、aの回りの回転数を
n(a;C) := \frac{1}{2\pi i}\int_C \frac{d\zeta}{\zeta - a} \in \mathbf{Z}
で定義する。このとき、
n(a;C)=0 ⇔ aを含まない領域内でCが1点にホモトープ

Cauchyの積分表示

n(z;C)f(z) = \frac{1}{2\pi i}\int_C \frac{f(\zeta)}{\zeta - z}d\zeta
これは前述の積分表示と同値である。

Moreraの定理

fをD上の連続函数とする。境界及び内部がDに含まれる任意の三角形の周Cに対し
\int_C f(z)dz = 0
ならばfは正則函数である。
これはCauchyの定理の逆を与える。



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