集合論


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集合論の公理


ZF公理系

外延性の公理

全ての元が等しい集合を集合としての同値と定義する。
\forall A \forall B. (\forall x. x \in A \Leftrightarrow x \in B) \Rightarrow A = B

空集合の存在公理

元のない集合(空集合)が存在する。
\exists A \forall x. x \notin A

対の公理

任意の2つの集合に対し、それら2つのみからなるような集合が存在する。
\forall x \forall y \exists A \exists t. t \in A \Leftrightarrow (t = x \vee t = y)

和集合の公理

任意の集合に対し、それの元に含まれる元のみからなる集合が存在する。
\forall A \exists B \forall x. x \in B \Leftrightarrow \exists C(C \in A \wedge x \in C)

無限集合の公理

空集合、あるいは任意の元をXとすると、Xまたは{X}のみからなる集合が存在する。
\exists A. \varnothing \in A \wedge \forall x (x \in A \Rightarrow x \cup \{x\} \in A)

冪集合の公理

任意の集合に対してそれの部分集合全体からなる集合が存在する。
\forall A \exists B \forall x. x \in B \Leftrightarrow x \subset A

置換公理

集合を定義域に持つ函数の値域は集合である。
\forall x\forall y\forall z ( (\psi(x,y) \wedge \psi(x,z) ) \Rightarrow y = z)\Rightarrow\forall X\exists A\forall y(y(\in A) \Leftrightarrow \exists x(\in X)\psi(x,y))

正則性公理

空でない集合は、それ自身と交わらないような元がとれる。
\forall A. A \neq \varnothing \Rightarrow \exists x(\in A) \forall t(\in A). t \notin x


以上の公理を満たす公理系をZF公理系とよぶ。


ZFC公理系


選択公理

元同士が互いに交わらないものであって、空でない集合の集合の元から1つずつ元をとり新たな集合を作ることが出来る。
\forall X( (\varnothing \notin X \wedge \forall x(\in X) \forall y(\in X). x\ne y\Rightarrow x\cap y = \varnothing)\Rightarrow\exists A\forall x(\in X)\exists t(x\cap A = \{t\}))

ZF公理系であって上の選択公理を満たすものをZFC公理系とよぶ。

選択公理には同値な命題がたくさん発見されている。




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