圏論


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圏の定義

一般の圏はメタ圏とUniverseから定義される。

メタ圏

メタ圏は射と対象のみからなる。射のドメイン、余ドメインはともに対象であって以下を満たす。
  1. gのドメインとfの余ドメインが同じ対象であれば常に合成射g \circ fが存在する。
  2. 射は結合法則を満たす。
  3. 全ての対象に対してそれからそれ自身への恒等射が存在する。

メタ圏の射の集合、対象の集合がUniverseの部分集合になっているとき、メタ圏は圏と呼ばれる。


米田の補題

\mathcal{C}が局所的に小さな圏であるとする。このとき、共変Hom函手h^A
h^A = \mathrm{Hom}_\mathcal{C}(A,-)
で定義する。このとき、任意の函手F:C \to \mathbf{Sets}に対し
\mathrm{Nat}(h^A,F) \cong F(A).
が成り立つ。

随伴

2つの函手F:\mathcal{C} \to \mathcal{D}, G:\mathcal{D} \to \mathcal{C}が与えられ、
\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(FY,X) \cong \mathrm{Hom}_{\mathcal{D}}(Y,GX)
がX,Yについて可換であるとき、Fを左随伴函手、Gを右随伴函手とよぶ。

Freydの随伴函手定理

Freydの随伴函手定理は函手が随伴函手を持ちうる必要十分条件について述べた定理である。




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