体論

代数 体論
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体の定義

可換環であって、であり、0以外の元に乗法に関して逆元が存在するものを体と呼ぶ。

代数的

を体の拡大とする。Lの元aがK上代数的であるとは0でない多項式が存在してが成立することをいう。

最小多項式

元aがK上代数的であれば、aを根とするモニック多項式の中で次数が最小のものがただ１つ存在する。この多項式をaのK上の最小多項式とよぶ。

例

のQ上の最小多項式はである。

代数拡大

を体の拡大とする。Lの全ての元がK上代数的であるとき、代数拡大という。

代数的閉体

K上の定数でない任意の多項式がK内に少なくとも1つの根をもつとき、Kは代数的閉体という。

例

複素数体Cは代数的閉体である。

代数的閉包

Kを体とする。Kの拡大体Lであって、

1. Lは代数的閉体
2. は代数拡大

を満たすとき、LをKの代数的閉包という。

諸定理

任意の体Kには代数的閉包が存在し、K-同型を除いて一意である。

分離拡大

体の代数拡大において、元のK上最小多項式がK上分離的であるとき、はK上分離的であるという。Lのすべての元がK上分離的であるとき、は分離拡大という。

超越拡大

体の拡大において、K上代数的でない元が存在するとき、この拡大を超越拡大という。また、次の性質を満たすをLのK上の超越基底という。

1. SはK上代数的に独立(K-多項式環の任意の多項式がSの各要素を根にもたない)
2. K(S)は代数拡大

正規拡大

体の拡大が、任意の既約多項式がLに根を持てばL[x]上1次式に分解するという条件を満たすとき、これを正規拡大であるという。

ガロア拡大

有限次分離正規拡大をガロア拡大という。

ガロア群

体の代数拡大において、Lの自己同型写像がK-同型写像になるとき、これをKの自己同型写像とよぶ。LのK-自己同型写像全体のなす群をガロア群といい、Gal(L/K)で表す。

体Lを体Kの有限次ガロア拡大とする。LとKの中間体MとGal(L/K)の部分群Hについて、

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