体論

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体の定義

可換環であって、1 \neq 0であり、0以外の元に乗法に関して逆元が存在するものをと呼ぶ。

代数的

K \subset Lを体の拡大とする。Lの元aがK上代数的であるとは0でない多項式f(x) \in K[x]が存在してf(a)=0が成立することをいう。

最小多項式

元aがK上代数的であれば、aを根とするモニック多項式の中で次数が最小のものがただ1つ存在する。この多項式をaのK上の最小多項式とよぶ。

\sqrt{2}+\sqrt{3}のQ上の最小多項式はx^4-10x^2+1である。

代数拡大

K \subset Lを体の拡大とする。Lの全ての元がK上代数的であるとき、代数拡大という。

代数的閉体

K上の定数でない任意の多項式f(x) \in K[x]がK内に少なくとも1つの根をもつとき、Kは代数的閉体という。

複素数体Cは代数的閉体である。

代数的閉包

Kを体とする。Kの拡大体Lであって、
  1. Lは代数的閉体
  2. K \subset Lは代数拡大
を満たすとき、LをKの代数的閉包という。

諸定理

任意の体Kには代数的閉包が存在し、K-同型を除いて一意である。

分離拡大

体の代数拡大K \subset Lにおいて、元\alpha \in LのK上最小多項式がK上分離的であるとき、\alphaはK上分離的であるという。Lのすべての元がK上分離的であるとき、K \subset L分離拡大という。

超越拡大

体の拡大K \subset Lにおいて、K上代数的でない元\alpha \in Lが存在するとき、この拡大を超越拡大という。また、次の性質を満たすS \subset LをLのK上の超越基底という。
  1. SはK上代数的に独立(K-多項式環の任意の多項式がSの各要素を根にもたない)
  2. K(S)は代数拡大

正規拡大

体の拡大K \subset Lが、任意の既約多項式がLに根を持てばL[x]上1次式に分解するという条件を満たすとき、これを正規拡大であるという。

ガロア拡大

有限次分離正規拡大をガロア拡大という。

ガロア群

体の代数拡大K \subset Lにおいて、Lの自己同型写像がK-同型写像になるとき、これをKの自己同型写像とよぶ。LのK-自己同型写像全体のなす群をガロア群といい、Gal(L/K)で表す。

体Lを体Kの有限次ガロア拡大とする。LとKの中間体MとGal(L/K)の部分群Hについて、M = L^{\mathrm{Gal}(L/M)}, H = Gal(L/LH)



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