環論


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環の定義

集合Rに加法と乗法が定義され、
  1. Rは加法群
  2. 乗法について結合法則を満たし単位元が存在する
  3. 分配法則を満たす
ならばRはである。


イデアル

環Rの部分集合であって、次を満たす空でない集合Iを(両側)イデアルという。
  1. Iは加法群としてRの部分群をなす
  2. ca \in I, ac \in I (\forall a \in I, \forall c \in R)


RでないRのイデアルであって、ab \in I \Rightarrow a \in I \vee b \in Iが成り立つときIを素イデアルという。


中国剰余定理

可換環RのイデアルI_1,...,I_rについてI_i + I_j = R(i \neq j)とする。このとき、
R/\cap I_i \cong R/I_1 \times \cdots \times R/I_r
が成り立つ。

(証明)
証明は環における準同型定理による。

一意分解整域

整域Rが次の性質を満たすとき、Rを一意分解整域とよぶ。
  1. 0でも単元でもないRの元は既約分解をもつ(有限個の既約元の積で表せる)
  2. 上の分解が順序と単元の積を除いて一意的である

整域Rが「0でも単元でもない元が既約分解を持ち、既約元が素元である」をみたすとき、Rは一意分解整域である。

ネーター環

可換環の全てのイデアルが有限生成イデアルであるとき、ネーター環という。

Hilbertの基底定理

ネーター環上の多項式環はネーター環である



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