群論


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群は任意の元どうしで演算
*:G \times G \to G
が定義されており、
  • 結合法則が成り立つ
  • 右単位元、左単位元が存在する
  • 右逆元、左逆元が存在する
を満たす集合である。

諸定理


Sylowの定理

群Gの位数がmp^nとかけるときGには位数がp^nのp-Sylow群(Gの部分群)が存在する。
(pは素数であってmはpと互いに素)、


(証明)
X=\{U \subset G | |U|=p^n\}としておく。このとき、
\mid X\mid = \prod_{j=1}^{p^n} \frac{(m-1)p^n+j}{j}
であり、pは|X|の約数でない。GはXに左から作用するから、軌道分解によってあるOrb(U)であってp \nmid |Orb(U)|なるものが存在する。このときp \mid |G_U||H| \leq |U| = p^nからG_Uが求めるp-Sylow群である。



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