位相空間


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位相空間

位相空間の定義にはいくつか公理があるがそれらは全て同値である。
  • 開集合系による定義
  • 閉集合系による定義
  • 近傍系による定義
  • 開核作用素による定義
  • 閉包作用素による定義

開集合系

Xの開集合の族\mathcal{O}(位相)が与えられて以下の条件を満たすとき、これの元を開集合とよび、Xを位相空間とよぶ。
  1. X, \phi \in \mathcal{O}
  2. O_1,O_2 \in \mathcal{O} \Rightarrow O_1 \cap O_2 \in \mathcal{O}
  3. \bigcup_{\lambda \in \Lambda} O_\lambda \in \mathcal{O}
なお、\Lambdaは任意の添字集合である。

分離公理

位相空間は分離公理によって種類分けをすることができる。
分離公理には以下のようなものがある。

(第1〜第4)分離公理

  • T_1(フレシェ空間): 異なる2点に対し、どちらか片方のみを含むような開集合が存在する
  • T_2(ハウスドルフ空間): 異なる2点に対し、それぞれを含み互いに交わらない開集合が存在する
  • T_3: 閉集合とそれに含まれない点に対し、それぞれを含み互いに交わらない開集合が存在する
  • T_4: 互いに交わらない2つの閉集合に対し、それぞれを含み互いに交わらない開集合が存在する

T_2T_1よりも強い。
T_{3 \frac{1}{2}}T_3よりも強い。

Tychonoffの分離公理

  • T_{3 \frac{1}{2}}: 閉集合とそれに含まれない点に対し、これらを分離する連続函数が存在する

T_1, T_3を満たす空間を正則と呼ぶ。
T_1, T_{3 \frac{1}{2}}を満たす空間を完全正則と呼ぶ(完全正則ならば正則)。
T_1, T_4を満たす空間を正規と呼ぶ(T_1T_2としても同値)。



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