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#contents()
*諸定義
:領域|連結な開集合
:単連結|領域D内のある1点を始点とする任意の閉曲線が1点にホモトープであるとき、Dは単連結である
:1点にホモトープ|領域内の閉曲線Cが定曲線にホモトープであるとき、Cは1点にホモトープである
*ホモトープ
平面内の領域Dに対し、D上で定義された2つの連続曲線を$$z=z(t_j) (0 \leq t \leq 1, j=1,2)$$とする。$$\varphi(t,u): [0,1] \times [0,1] \to D$$なる連続写像であって、
- $$\varphi(t,0) = z_1(t), \varphi(t,1) = z_2(t) \quad (0 \leq t \leq 1)$$
- $$\varphi(0,u) = z_1(0) = z_2(0), \varphi(1,u) = z_1(1) = z_2(1) \quad (0 \leq u \leq 1)$$
を満たすものが存在するとき、この2つの曲線はDで''ホモトープ''であるという。
*Jordanの定理
C内のジョルダン閉曲線は、Cを2つの領域に分ける。一方は有界な単連結領域である。
*Cauchyの積分定理
fを単連結領域D上の正則函数とするとき、1点にホモトープな閉曲線Cに対し
|SIZE(30):$$\int_C f(z)dz = 0$$|
(証明)
証明は閉三角形による特別な場合で示し、その後一般の領域に拡張するものが多い。
*Cauchyの積分表示
領域D内の点aと$$0<r<d(a;\partial D)$$に対して、fがD上正則函数ならば
|SIZE(30):$$f(z) = \frac{1}{2\pi i}\int_{C(a;r)}\frac{f(\zeta)}{\zeta - z} d\zeta \quad (z \in \Delta(a;r))$$|
(証明)
$$C_1 = Re^{i\thata_1}, C_3 = z + \delta e^{i\thata_2}$$, $$C_2$$を(1→2を正として)これらを結ぶ曲線としてみよ。fはD上正則函数であるから$$C=C_3 + C_2 + C_1 - C_2$$によるfの積分は0になる。ここから$$C_1 = C_3$$、$$C_3$$のzの回りの積分から求める式を得る。
*回転数
点aとaを通らない閉曲線Cに対し、aの回りの回転数を
|SIZE(30):$$n(a;C) := \frac{1}{2\pi i}\int_C \frac{d\zeta}{\zeta - a} \in \mathbf{Z}$$|
で定義する。このとき、
n(a;C)=0 ⇔ aを含まない領域内でCが1点にホモトープ
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*諸定義
:領域|連結な開集合
:単連結|領域D内のある1点を始点とする任意の閉曲線が1点にホモトープであるとき、Dは単連結である
:1点にホモトープ|領域内の閉曲線Cが定曲線にホモトープであるとき、Cは1点にホモトープである
*ホモトープ
平面内の領域Dに対し、D上で定義された2つの連続曲線を$$z=z(t_j) (0 \leq t \leq 1, j=1,2)$$とする。$$\varphi(t,u): [0,1] \times [0,1] \to D$$なる連続写像であって、
- $$\varphi(t,0) = z_1(t), \varphi(t,1) = z_2(t) \quad (0 \leq t \leq 1)$$
- $$\varphi(0,u) = z_1(0) = z_2(0), \varphi(1,u) = z_1(1) = z_2(1) \quad (0 \leq u \leq 1)$$
を満たすものが存在するとき、この2つの曲線はDで''ホモトープ''であるという。
*Jordanの定理
C内のジョルダン閉曲線は、Cを2つの領域に分ける。一方は有界な単連結領域である。
*Cauchyの積分定理
fを単連結領域D上の正則函数とするとき、1点にホモトープな閉曲線Cに対し
|SIZE(30):$$\int_C f(z)dz = 0$$|
(証明)
証明は閉三角形による特別な場合で示し、その後一般の領域に拡張するものが多い。
*Cauchyの積分表示
領域D内の点aと$$0<r<d(a;\partial D)$$に対して、fがD上正則函数ならば
|SIZE(30):$$f(z) = \frac{1}{2\pi i}\int_{C(a;r)}\frac{f(\zeta)}{\zeta - z} d\zeta \quad (z \in \Delta(a;r))$$|
(証明)
$$C_1 = Re^{i\thata_1}, C_3 = z + \delta e^{i\thata_2}$$, $$C_2$$を(1→2を正として)これらを結ぶ曲線としてみよ。fはD上正則函数であるから$$C=C_3 + C_2 + C_1 - C_2$$によるfの積分は0になる。ここから$$C_1 = C_3$$、$$C_3$$のzの回りの積分から求める式を得る。
*回転数
点aとaを通らない閉曲線Cに対し、aの回りの回転数を
|SIZE(30):$$n(a;C) := \frac{1}{2\pi i}\int_C \frac{d\zeta}{\zeta - a} \in \mathbf{Z}$$|
で定義する。このとき、
n(a;C)=0 ⇔ aを含まない領域内でCが1点にホモトープ
*Cauchyの積分表示
|SIZE(30):$$n(z;C)f(z) = \frac{1}{2\pi i}\int_C \frac{f(\zeta)}{\zeta - z}d\zeta$$|
これは前述の積分表示と同値である。
*Moreraの定理
fをD上の連続函数とする。境界及び内部がDに含まれる任意の三角形の周Cに対し
|SIZE(30):$$\int_C f(z)dz = 0$$|
ならばfは正則函数である。
これはCauchyの定理の逆を与える。
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