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#contents()
*集合論の公理
**ZF公理系
***外延性の公理
$$\forall A \forall B. (\forall x. x \in A \Leftrightarrow x \in B) \Rightarrow A = B$$
***空集合の存在公理
$$\exists A \forall x. x \notin A$$
***対の公理
$$\forall x \forall y \exists A \exists t. t \in A \Leftrightarrow (t = x \vee t = y)$$
***和集合の公理
$$\forall A \exists B \forall x. x \in B \Leftrightarrow \exists C(C \in A \wedge x \in C)$$
***無限集合の公理
$$\exists A. \varnothing \in A \wedge \forall x (x \in A \Rightarrow x \cup \{x\} \in A)$$
***冪集合の公理
$$\forall A \exists B \forall x. x \in B \Leftrightarrow x \subset A$$
***置換公理
$$\forall x\forall y\forall z ( (\psi(x,y) \wedge \psi(x,z) ) \Rightarrow y = z)\Rightarrow\forall X\exists A\forall y(y\in A \Leftrightarrow \exists x\in X\psi(x,y))$$
***正則性公理
$$\forall A. A \neq \varnothing \Rightarrow \exists x(\in A) \forall t(\in A). t \notin x $$
以上の公理を満たす公理系を''ZF公理系''とよぶ。
**ZFC公理系
***選択公理
$$\forall X( (\varnothing \notin X \wedge \forall x(\in X) \forall y(\in X). x\ne y\Rightarrow x\cap y = \varnothing)\Rightarrow\exists A\forall x(\in X)\exists t(x\cap A = \{t\}))$$
ZF公理系であって上の選択公理を満たすものを''ZFC公理系''とよぶ。
選択公理には同値な命題がたくさん発見されている。
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*集合論の公理
**ZF公理系
***外延性の公理
全ての元が等しい集合を集合としての同値と定義する。
$$\forall A \forall B. (\forall x. x \in A \Leftrightarrow x \in B) \Rightarrow A = B$$
***空集合の存在公理
元のない集合(空集合)が存在する。
$$\exists A \forall x. x \notin A$$
***対の公理
任意の2つの集合に対し、それら2つのみからなるような集合が存在する。
$$\forall x \forall y \exists A \exists t. t \in A \Leftrightarrow (t = x \vee t = y)$$
***和集合の公理
任意の集合に対し、それの元に含まれる元のみからなる集合が存在する。
$$\forall A \exists B \forall x. x \in B \Leftrightarrow \exists C(C \in A \wedge x \in C)$$
***無限集合の公理
空集合、あるいは任意の元をXとすると、Xまたは{X}のみからなる集合が存在する。
$$\exists A. \varnothing \in A \wedge \forall x (x \in A \Rightarrow x \cup \{x\} \in A)$$
***冪集合の公理
任意の集合に対してそれの部分集合全体からなる集合が存在する。
$$\forall A \exists B \forall x. x \in B \Leftrightarrow x \subset A$$
***置換公理
集合を定義域に持つ函数の値域は集合である。
$$\forall x\forall y\forall z ( (\psi(x,y) \wedge \psi(x,z) ) \Rightarrow y = z)\Rightarrow\forall X\exists A\forall y(y(\in A) \Leftrightarrow \exists x(\in X)\psi(x,y))$$
***正則性公理
空でない集合は、それ自身と交わらないような元がとれる。
$$\forall A. A \neq \varnothing \Rightarrow \exists x(\in A) \forall t(\in A). t \notin x $$
以上の公理を満たす公理系を''ZF公理系''とよぶ。
**ZFC公理系
***選択公理
元同士が互いに交わらないものであって、空でない集合の集合の元から1つずつ元をとり新たな集合を作ることが出来る。
$$\forall X( (\varnothing \notin X \wedge \forall x(\in X) \forall y(\in X). x\ne y\Rightarrow x\cap y = \varnothing)\Rightarrow\exists A\forall x(\in X)\exists t(x\cap A = \{t\}))$$
ZF公理系であって上の選択公理を満たすものを''ZFC公理系''とよぶ。
選択公理には同値な命題がたくさん発見されている。
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