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*環の定義
集合Rに加法と乗法が定義され、
+ Rは加法群
+ 乗法について結合法則を満たし単位元が存在する
+ 分配法則を満たす
ならばRは''環''である。
*イデアル
環Rの部分集合であって、次を満たす空でない集合Iを(両側)''イデアル''という。
+ Iは加法群としてRの部分群をなす
+ $$ca \in I, ac \in I (\forall a \in I, \forall c \in R)$$
RでないRのイデアルであって、$$ab \in I \Rightarrow a \in I \vee b \in I$$が成り立つときIを素イデアルという。
*中国剰余定理
可換環Rのイデアル$$I_1,...,I_r$$について$$I_i + I_j = R(i \neq j)$$とする。このとき、
$$R/\cap I_i \cong R/I_1 \times \cdots \times R/I_r$$
が成り立つ。
(証明)
証明は環における準同型定理による。
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*環の定義
集合Rに加法と乗法が定義され、
+ Rは加法群
+ 乗法について結合法則を満たし単位元が存在する
+ 分配法則を満たす
ならばRは''環''である。
*イデアル
環Rの部分集合であって、次を満たす空でない集合Iを(両側)''イデアル''という。
+ Iは加法群としてRの部分群をなす
+ $$ca \in I, ac \in I (\forall a \in I, \forall c \in R)$$
RでないRのイデアルであって、$$ab \in I \Rightarrow a \in I \vee b \in I$$が成り立つときIを素イデアルという。
*中国剰余定理
可換環Rのイデアル$$I_1,...,I_r$$について$$I_i + I_j = R(i \neq j)$$とする。このとき、
$$R/\cap I_i \cong R/I_1 \times \cdots \times R/I_r$$
が成り立つ。
(証明)
証明は環における準同型定理による。
*一意分解整域
整域Rが次の性質を満たすとき、Rを''一意分解整域''とよぶ。
+ 0でも単元でもないRの元は既約分解をもつ(有限個の既約元の積で表せる)
+ 上の分解が順序と単元の積を除いて一意的である
整域Rが「0でも単元でもない元が既約分解を持ち、既約元が素元である」をみたすとき、Rは一意分解整域である。
*ネーター環
可換環の全てのイデアルが有限生成イデアルであるとき、''ネーター環''という。
*Hilbertの基底定理
ネーター環上の多項式環はネーター環である
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