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#contents()
*群
群は任意の元どうしで演算
$$*:G \times G \to G$$
が定義されており、
- 結合法則が成り立つ
- 右単位元、左単位元が存在する
- 右逆元、左逆元が存在する
を満たす集合である。
*諸定理
**Sylowの定理
群Gの位数が$$mp^n$$とかけるときGには位数が$$p^n$$のp-Sylow群(Gの部分群)が存在する。
(pは素数であってmはpと互いに素)、
(証明)
$$X=\{U \subset G | |U|=p^n\}$$としておく。このとき、
$$|X| = \Pi_{j=1}^{p^n} ((m-1)p^n+j)/j$$
であり、pは|X|の約数でない。GはXに左から作用するから、軌道分解によってある$$Orb(U)$$であって$$p \nmid |Orb(U)|$$なるものが存在する。このとき$$p \mid |G_U|$$、$$|H| \leq |U| = p^n$$から$$G_U$$が求めるp-Sylow群である。
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*群
群は任意の元どうしで演算
$$*:G \times G \to G$$
が定義されており、
- 結合法則が成り立つ
- 右単位元、左単位元が存在する
- 右逆元、左逆元が存在する
を満たす集合である。
*諸定理
**Sylowの定理
群Gの位数が$$mp^n$$とかけるときGには位数が$$p^n$$のp-Sylow群(Gの部分群)が存在する。
(pは素数であってmはpと互いに素)、
(証明)
$$X=\{U \subset G | |U|=p^n\}$$としておく。このとき、
|SIZE(35):$$\mid X\mid = \prod_{j=1}^{p^n} \frac{(m-1)p^n+j}{j}$$|
であり、pは|X|の約数でない。GはXに左から作用するから、軌道分解によってある$$Orb(U)$$であって$$p \nmid |Orb(U)|$$なるものが存在する。このとき$$p \mid |G_U|$$、$$|H| \leq |U| = p^n$$から$$G_U$$が求めるp-Sylow群である。
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#comment()
